・半音階的小半音 24：25（71セント）
純正律ハ長調におけるesは、gから長３度下で求められるから、es-g=4:5。他方、e-gは5:6（短３度）であるから、es:e:g=24:25:30となり、es:e=24:25（71セント）となる。これが半音階的小半音で、小全音9:10と全音階的半音15:16の差に相当する。「小半音 minor semitone」あるいは「小クローマ minor chroma」とも呼ばれる。
・半音階的大半音 128：135（92セント）
純正律ハ長調におけるdesはfから長３度下で求められるから、des-f=4:5。他方、d:f=27:32（短３度）であるから、des:d:f=128:135:160となり、des:d=128:135（92セント）となる。これが半音階的大半音で、大全音8:9と全音階的半音15:16の差に相当する。「大クローマ major chroma」、「小リンマ minor limma」とも呼ばれる。
・大リンマ 25：27（134セント）
純正律ハ長調におけるb（変ロ）はdから長３度下で求められるから、b:d=4:5。g:d=2:3であるからg:b=5:6。また、gesはbから長３度下で求められるから、ges:b=4:5。したがってges:g:b=24:25:30、ges:g=24:25（半音階的小半音）。他方、f:g=8:9（大全音）であるから、f:ges:g=200:216:225となり、f:ges=200:216=25:27（133セント）。これが「大リンマ major limma」で、大全音8:9と半音階的小半音 24:25の差であると同時に、短３度5:6と小全音9:10の差に相当する。
※より正確には、大全音203.910セント、小全音182.404セント、大リンマ133.238セント、全音階的半音111.731セント、半音階的大半音92.179セント、半音階的小全音70.672セントだが、ここでは簡略化し、それぞれ204、182、134、112、92、71セントと表記する。
●表6b 純正律ハ長調における幹音と派生音の音程（幹音から純正長３度で派生音を求める方法）
ここでは、Des-F, Es-G, B-Ges, As-C, B-D、A-Cis, H-Dis, D-Fis, E-Gis, Fis-Aisが純正長３度（5:6、386セント）となる。
|
C-Des
|
Des-D
|
D-Es
|
Es-E
|
F-Ges
|
Ges-G
|
G-As
|
As-A
|
A-B
|
B-H
|
|
112
|
92
|
112
|
71
|
134
|
71
|
112
|
71
|
134
|
71
|
|
C-Cis
|
Cis-D
|
D-Dis
|
Dis-E
|
F-Fis
|
Fis-G
|
G-Gis
|
Gis-A
|
A-Ais
|
Ais-H
|
|
71
|
134
|
71
|
112
|
92
|
112
|
71
|
112
|
92
|
112
|
2.5. ほんとうに純正律で演奏できるのか
もし合唱やオケで「自分達は純正律で演奏している」とおっしゃるところがあるなら、筆者としては「長調のII度の和音を27:32:40で演奏されていますか？」あるいは「旋律を演奏するとき、大全音と小全音を区別されていますか？」と質問したい。
もし、この答えがYesであるならば「純正律で演奏している」といえるが、そうでないならば、それは「純正律で演奏している」のではなくて、曲の中でのいくつかの重要な箇所での和音を「倍音列に由来する単純な整数比（うなりがない和音）に近似した状態で演奏している」に過ぎない、ということになる。
ここで「近似した状態」としたのは、人声あるいは管弦楽器では、一定の音高を数セントの精度で維持することが困難だからだ。この意味で、各種音律が音楽の実践上問題となるのは、オルガン、チェンバロ、ピアノといった音高が厳密に固定されている楽器の場合に限られる。
・関連ファイル：純正律の特質と問題点 [PDF]
【補足2.1】「単純な整数比が美しい」という「思想」
単純な整数比の音程たとえば４：５の長３度には「うなり」がない。しかし「うなりがない＝協和している＝美しい」とみなすのは必ずしも聴覚心理学的に妥当とはいえない。この逆に「単純な整数比ではない＝うなりがある＝協和していない＝美しくない」というのも同様。これは「単純な整数比の音程は美しい」あるいは「うなりがない和音は美しい」という（いささか同語反復的な）思想というべきものだ。
これに関連して「純正」という用語法にも注意が必要だ。2:3の５度を「純正５度」、4:5の長３度を「純正長３度」と呼ぶが、ここでの「純正」とは「倍音列に由来する単純な整数比の音程」という意味で、必ずしもそれが人間の聴覚にとって「最良」あるいは「正しい」音程というわけではない。
【補足2.2】「テンペラメント」の用法
テンペラメントtemperamentとは、本来は後述の中全音律や平均律のように、なんらかの調整・補正を施した音律・調律法に用いるべき用語。ピュタゴラス音律および純正律は「補正されていない」ので厳密には「テンペラメント」とは呼ばない。一部で純正律を「pure temperament」と表記した例があるが、これは用語法が適切ではない。
さて、純正律の欠点を改善するために中全音律が生まれたと考えられている。
３．中全音律
Mean-tone system / mitteltoenige Temperatur
3.1. ５度をごくわずかに狭くして長３度を4:5に
中全音律（ミーン・トーン）は、完全５度を４回重ねて得られる２オクターブ＋長３度（Ｃを起点とすると、C→Ｇ→ｄ→ａ→ｅ’）が、倍音列に由来する4:5（純正長３度）となるように、４回重ねる完全５度を2:3よりもごくわずか、狭くしたもの。
2:3の完全５度を４回重ねて得られる長３度64:81と、倍音列に由来する（純正の）長３度4:5の差、80:81（約22セント）をシントニック・コンマ（以下、コンマ）と呼ぶ。したがって、中全音律は、完全５度を2:3よりも1/4コンマ狭くして音階音を得る方法ということになる。この中全音律の完全５度は１：５^(1/4)［５の４乗根］と定義される。
3.2. 中全音＝大全音と小全音の中間の全音
つまり、長３度が4:5となってうなりのない状態になる、というのが中全音律の第１のメリット。そして第２のメリットとして、前述の純正律の欠点であった大全音と小全音のかわりに、中全音律の全音は一種類となる。
上述のように、中全音律では完全５度を1：5^(1/4)とする。この完全５度を２回重ねて、たとえばC-G-dとしすると、C-d（１オクターブと長２度）は1:5^(1/2）、c-dの長２度は2:5^(1/2）となり、これが中全音（193セント）となる。なぜ、中全音とよばれるかというと、これが純正長３度（4:5）を均等に２分割したもの、つまり大全音と小全音の中間となるからだ。
別の角度から考えてみよう。大全音（8:9）と小全音（9:10）は、自然倍音列に現れるが、たとえばC-Dを8:9（204セント）、D-Eを9:10（182セント）とすれば、C-Eは8:10=4:5（386セント）となり、純正長３度となる。この純正長３度（386セント）をふたつの等しい全音に分割すると、中全音2:5^(1/2)、193セントが得られる。
3.3. 歴史と変種
バルトロメオ・ラモス・デ・パレーハBartolomeo Ramos de Parejaは《実践的音楽 Musica practica》（1482）の中で「中全音律が広く鍵盤楽器に用いられている」と述べているので、15世紀にはこの音律が一般化したと考えられる。調律法の実際はアロンP. Aaronが1523年に述べており、このため５度を1/4シントニック・コンマ狭くした中全音律は「アロンの中全音律」と呼ばれることもある。
この他、完全５度2:3を1/3シントニック・コンマ狭くして短３度が純正（5:6）になるようにする音律（サリナス）もあれば、1/5シントニック・コンマ狭くする方法など、変種がいろいろあり、いわゆるヴェルクマイスターやキルンベルガーの音律もこの変種のひとつ、とみなすことができる。たとえば、古典調律の例としてよく見かけるヴェルクマイスターIIIは、2:3の完全５度（ピュタゴラス５度）と、これよりもやや狭い中全音律５度を組み合わせて調律する方法だ。ちなみに、12平均律は「５度を1/12ピュタゴラス・コンマ狭くした中全音律」に相当する。
【補足3.1】「中全音律」の定義
中全音律とは狭義には「完全５度を1/4シントニック・コンマ狭くした音律」だが、この変種および各種不等分律を含めて広く中全音律、ミーントーンと呼ぶ場合もあるので注意が必要。
４．平均律（12平均律）
Equal temperament / gleichschwebend Temperatur
4.1. オクターブを12等分する
１オクターブ（音程比1:2）を12の半音に等分する。この平均律の半音は音程比1:2^(1/12)すなわち1:「２の12乗根」となる。この半音が100セントとなる。
●表７ 平均律ハ長調長音階
音程比 セント値
4.2. アリストクセノス：平均律の父
まず、平均律の考え方は意外に古い歴史がある。古代ギリシャのアリストクセノスは、数比で音程を説明するピュタゴラス派を批判して「音程は聴覚によって判断されなければならない」とし、完全４度を「２全音と１半音」とし、全音を「２半音」と定義している。なお古代ギリシャでは、少なくとも理論的には半音よりも狭い微少音程も論じられており、アリストクセノスは全音を12分割し、３分音と４分音を定義している。
4.3. 初期の試み、または初期の実践
さてヨーロッパでは前述のピュタゴラス音律の修正という形で平均律的な考え方が現われる。
グランマテウスHenricus Grammateus (c.1492-1525/26)はピュタゴラス音律の全音（8：9）を等分して半音階的半音を得る方法を述べた。この8：9（204セント）を２分割した半音は102セントとなり、平均律の半音100セントにかなり近似する。なおグランマテウスは全音階的半音（ミ-ファ、シ-ド）にはピュタゴラスの半音243：256=90セントを使用するため、明確に異なる２種類の半音が混在することになる。
【補足4.1】
ハーモニーディレクターHD-81（YAMAHA）を使って、グラマテウスの平均律をセットし、音階、旋律、和音を演奏してみると、102セントの半音と90セントの半音には、予想したほど大きな違いは感じられない。
またランフランコG.M. Lanfrancoは1533年に「５度を耳が不快と感じない程度狭くし、３度を耐えられる限り広く取る」という調律法を述べている。具体的な数比は示されていないが、これは完全５度を2：3（702セント）よりもわずかに狭く700セントとし、長３度を4：5（386セント）よりもかなり広く400セントとする平均律の調律法と一致する。
「オクターブを12の等しい半音に分割する」という意味での平均律を数比を用いて記述した最初の例はヴィンチェンツォ・ガリレイで、彼は1581年に、半音を17:18（99セント）とするリュートの調弦法を述べている。１セントの差は累積すればオクターブで12セントの誤差を生じるが実際上はほとんど問題とならない。リュートの開放弦は純正の（あるいは単純な整数比の）完全４度や長３度で調弦されることになっているが、これも数セントの誤差は免れない。したがってこの「半音99セント」の音律は実際上平均律といってよい。
【補足4.2】
ハーモニーディレクターHD-81を使って、99セントの半音の平均律をセットし、音階、旋律、和音を演奏してみると（オクターブを1200セントとするため、vii-iの半音のみ、111セントとなる）、特に意識しなければほとんど通常の平均律と同じに感じられる。
1588年には、特殊な器具を用いて中間比を求めたり、円の直径と、そこからの垂線を用いて中間比を求めてオクターブを12等分する方法が記述されている（ツァルリーノ Zarlino）。これが12平均律の最初の記述例とみなされている。
そして、1600年頃にはオランダのステフィンSimon Stevinが2＾(1/12)つまり「２の12乗根」として12平均律を記述した。彼の計算では半音の比が10000/9438（100.14セント）となっており、実用上充分な精度を持った値といえる。
【補足4.4】平方根を筆算で求める
２の12乗根
2^(1/12)
は、２の平方根の平方根の立方根
2^(1/12)=2^((1/2)*(1/2)*(1/3))
となる。したがって、平方根と立方根が求められれば「２の12乗根」は求められることになる。そして平方根と立方根は、乗算ができれば（手間はかかるが）求めることができる。たとえば２の平方根Xを求める場合、1*1=1
2*2=4したがって、1<X<2、
次に、1.5*1.5=2.25
したがって、1<X<1.5、
次に、1.3*1.3=1.69
したがって、1.3<X<1.5、
次に、1.4*1.4=1.96
したがって、1.4<X<1.5。このように計算を繰り返すことにより、範囲を狭めて近似させていくことができる。手間と根気が必要だが、この方法でも実用的な精度の値を求めることができる（平方根を筆算で求める場合、現在ではより能率的な方法が用いられるが、原理は上述の手順と同じ）。
4.4. 現実的な音律としての平均律
以上の歴史的記述からすると、早ければ16世紀初頭から、遅くとも16世紀中頃には平均律が理論的に検討されていたといえる。そしておそらくこれらの考察は純理論的な動機からというよりは、当時の音楽の実践面での要求（鍵盤楽器での転調可能性、和声的語彙の拡張、半音階進行の使用）からのもので、実際の鍵盤楽器の調律では、理論化以前に平均律が試みられていた可能性も考えられる。
したがって、一部の研究者が唱える「対数の概念の存在しない時代には平均律は実現できなかった」という見解は慎重に吟味されなければならない（平方根と立方根が求められれば２の12乗根は求められる）。また「平均律は19世紀以後普及した」というような一般化も誤解を招くといえるだろう（フレスコバルディやフローベルガーがすでに平均律を使っていたとする説もある）。
おそらくは、ピュタゴラス音律以後、三和音の協和と転調可能性との妥協策としてさまざまな調律法が開拓されて並存したが、ピュタゴラス音律の直接の補正としての12平均律の考えも存在したと考えられる。
【補足4.1】中国の平均律
中国でも、16世紀末に朱載［土育］（しゅさいいく。３文字目は「土」偏に「育」で一文字）によって平均律が理論的に記述されている。朱は「古代の12律は厳密に2:3や3:4を重ねたもの（三分損益法）ではなく、おおよその値を示したもの」との発想から、中国の12律を平均律として記述したらしい（もともと12律そのものが原理的には平均律に相当するといっても過言ではない）。
彼の計算方法は、まずオクターブを平方根で２等分して増４度（減５度）を得、次いでこれを再び平方根で２等分して増２度（短３度）を得、最後にこれを立方根で３等分して増１度（短２度）を得る、というものだった（4.5、表８参照）。
これは実際の音楽に適用されることはなかったといわれているが、ヨーロッパの考え方でいえば「ピュタゴラス音律の補正としての平均律」とみなすことができ、ヨーロッパの音律を考える上でも示唆的な例といえよう。
なお、この朱の平均律が当時中国に渡っていた宣教師経由でヨーロッパに伝えられ、ヨーロッパの平均律が生まれたとする説があるが、この説を裏付ける具体的な証拠はない。
関連ページ：平均律の歴史的位置
4.5. 耳で聴く平方根と立方根
前項で述べたように、２の12乗根は２つの平方根とひとつの立方根となる。
2^(1/12)=2^((1/2)*(1/2)*(1/3))
これをオクターブの分割で考えると、以下の３通りの手順で１オクターブの12音が得られる。
(1)平方根→平方根→立方根
まず、２の平方根を求めると、オクターブ1:2の中間、平均律のfis/gesが得られる。つまり、平方根は聴覚的には増４度／減５度音程となる。次に、この増４度／減５度を平方根で２等分すると、平均律短３度／増２度が得られる。これらの音（c-es-fis-a-c）は、いわゆる減７の和音（ディミニシュト・セブンスコード）を構成する。最後にこの短３度を立方根で３等分すれば、平均律の半音（短２度／増１度）が得られる。
●表８
des
es
ges
as
b
(2)平方根→立方根→平方根
(1)と同じく、まずオクターブを２等分してfis/gesを得る。この増４度／減５度を立方根で３等分すると、平均律長２度／減３度が得られる（c-d-e-fis-gis-ais-c）。これらの音は全音音階whole tone scaleを構成する。最後に、この長２度／減３度を平方根で２等分すれば、平均律の半音が得られる。
●表９
des
es
ges
as
b
(3)立方根→平方根→平方根
オクターブを立方根で３等分すると、平均律長３度／減４度が得られる（c-e-gis-c）。次にこの長３度／減４度を平方根で２等分すると、平均律長２度／減３度が得られる（c-d-e-fis-gis-ais-c)。これは(2)と同じく、全音音階を構成する。そしてこの長２度／減３度を平方根で２等分すれば、平均律の半音が得られる。
●表10
des
es
ges
as
b
５．古典調律への疑問
5.1. 確かに違って聴こえるが…
現在「古典調律」と呼ばれるヴェルクマイスターやキルンベルガーの各種調律法は、確かに12平均律とは異なるが、その違いはごくごくわずかなもので、実際にはチェンバロなどでは調律後しばらく放置したらその差以上の誤差が容易に生じる程度のもの、といっても過言ではない（補遺２：音律演奏サンプルで聴くことができる）。
バロック時代のある作品を古典調律で弾く場合と平均律で弾く場合、両者は厳密に比較すれば「やや異なる響き」がするが、別の音楽になってしまうわけではないし、平均律が特に不快な響きになるとは限らない。
5.2. 音高や音程はカテゴリーとして認識される
音階の成立段階で自然倍音が影響し、単純な整数比の音程が主体をなしたことは充分考えられるが、離散的な周波数の音高からなる音階は「カテゴリー」として文化的に学習されるという説がある。
つまり、中全音律であれ、平均律であれ、「ドレミ・・・」の音階はそれとして認識される、ということ。このことを敷衍すれば和声的音程についても長３度や完全５度は他の音程と区別されることに意味があり、その絶対的な音程比が整数比か否かが問われるのではない、と考えられる。
たとえば、純正律支持者がしばしば取り上げる長三和音の響きだが、４：５の長３度は386セントで平均律長３度400セントよりも14セント狭く、5:6の短３度は316セントで平均律短３度300セントよりも16セント広い。このため、根音を同一とした長三和音を聴きくらべると、4:5:6の長三和音では第３音が低く聴こえる。根音と第５音の完全５度は、純正長三和音では702セント、平均律では700セントで、この差はほとんど認識できない。
つまり、平均律においては、長３度と短３度の差が大きいことによって、より明確に区別される、という点にひとつのポイントがあるのではないか。
これは誇張ともいえる。明るい長３度は広めに誇張され、暗い短３度は狭く誇張される、といってもよいだろう。これによって、長３度と短３度にメリハリがつき、３度の積み重ねによる各種和音の違いがより明確になる、と考えられる。したがって安易に「４：５の純正長３度が平均律の長３度よりもよい響きである」とはいえない。
5.3. 「うなりがなければ正しい」のか？
「うなりのない音程」が「美しい」あるいは「正しい」という主張も聴覚心理学的に検討されなければならないだろう。もし「うなりがあると美しくない」というなら、オーケストラの弦楽器群が発する盛大な「うなり」をどう説明するのだろう。適度なうなり、つまり微妙な周波数のずれがあるからこそ、オーケストラの響きは聴きやすくなるのではないか。
また、調律したばかりのピアノは音が硬く、響かない。しばらく時間が経過して、適度に弦がゆるみ、周波数にずれが生じた段階で聴きやすくなる。余談だが、電子ピアノや電子キーボードは周波数が正確過ぎて適度なずれが生じないために、耳にきつい印象を与えるのだ。
「古典調律のよさがわからないのは平均律に耳が毒されているからだ」などというのは、すでに2000年以上昔にアリストクセノスが指摘しているように、聴覚心理学・聴覚生理学を無視した、数比に固執するいささか筋違いの教条主義的批判というべきだろう。
5.4. 不毛な議論
平均律を支持するマールプルクは、以下のように述べている。
平均律は１種類しかないが、不等分律は際限ない数が可能だ。このため思索好きの音楽家にとって不等分律はさまざまな変形の可能性を与える。あらゆる音楽家がそれぞれ自分の音律を発明することができ、その結果、次から次へと新しい不等分律が考案され、みなが「自分の考案した音律が最良である」と主張することになる。
（マールプルクMarpurg、1776）
似たような状況は、現在でも一部の古楽関係者の間の議論に散見される。
また中全音律や純正律は「３度が純正」というところから「３」を聖なる数とするキリスト教的観念から正しいものとみなされることがある（３は三位一体の神に通じるとして聖なる数とみなされ、２はグノーシス的な二元論に通じるとして忌避される）。一部のキリスト教会音楽関係者は、中全音律が教会オルガンの調律に相応しいと主張している。これは一種の信仰あるいは主義であって、実証的・科学的な主張とはいいがたい。
いずれにせよ、実際に私たちが演奏を聴くとき、音律の微細な相違は他の要因に比べれば取るに足らない違いといってもよいかもしれない。極論すれば「古典調律によるヘタクソな演奏」と「平均律による上手な演奏」のどちらを取るか、ということにもなってくるだろう。
６．バッハの《平均律》をめぐる疑似音楽学
J.S.バッハの《平均律クラヴィーア曲集》第１巻の表紙の上部に記された一連の渦巻き模様が、調律法を表したものだという説がある。「ループが11個あり、左から２重が３個、１重が３個、３重が５個、これが11個の５度の調整法を示す」というのがこの説の基本で、これらのループの意味や、細部についての解釈が異なるいくつかの説が提示されている。
※画像をクリックすると拡大されます。
18世紀の書籍には、しばしばこの種のループ状の文字装飾が見られる。したがって、ここでの基本的な研究手続きとしては「これらのループは単なる装飾模様に過ぎず、特定の隠された意味を持たない」という仮説も検討するべきで、そのためには、当時の楽譜にこの種の模様がどのように描かれているのか、描かれていないのか、という問題が検討されなければならない。しかし、筆者の知る限りでは、そういった基本的な検証はなされていない。
たとえば、《アンナ・マグダレーナバッハのためのクラヴィーア練習帳 Clavierbüchlein für Anna Magdalena Bach》の表紙にも、文字の飾りとして上述の「１重のループ」が用いられている。
※画像をクリックすると拡大されます。
これらの「１重のループ」がもし単なる装飾ならば、上述の「11個のループ」も単なる装飾と考えるのが妥当だろう。始めから「これは調律法を示している」という解釈が前提されているとすれば、それは実証的な科学としての音楽学の態度とはいえない。
現時点では、この説は根拠の薄弱な仮説であり、さらにいえば、単なるこじつけの域を出ていない。
また、興味深いことに、この渦巻き模様が調律法を示している、とする立場からもさまざまな説があり、決してコンセンサスが得られているわけではない。これは、この種の模様や「３、３、５、11」といった単純な整数がどのようにも解釈できる、ということを示している。
この種の裏読みや深読みは、読み物としてはおもしろいかもしれないが、実証的な音楽史学の議論とは認められない。これは「強い信念に基づく」という意味において、純正律や不等分律を礼賛し、返す刀で平均律を批判し、「バッハのWohltemperierteは平均律ではない」と主張する議論に通じるところがある。どちらも奇説、珍説のたぐいであり、「疑似音楽学 pseudomusicology」と呼ぶべきものだ。
関連ページ：音楽を考えるためのブックガイド
【追記】
・フィッシャーの《アリアドネ・ムジカ》
バッハの《平均律》以前にも、さまざまな調による曲をまとめた曲集がいくつか存在するが、バッハに直接的に影響したと推定されるのはフィッシャーJ.K.F. Fischer（1670頃-1746）の《アリアドネ・ムジカ Ariadne Musica - 20の前奏曲とフーガ》（1702）だ。この20曲は以下の調で書かれている。
| No. |
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
| 調 |
C:
|
cis:
|
d:
|
D:
|
Es:
|
e: （フリギア）
|
e:
|
E:
|
f:
|
F:
|
| No. |
11
|
12
|
13
|
14
|
15
|
16
|
17
|
18
|
19
|
20
|
| 調 |
fis:
|
g:
|
G:
|
As:
|
a:
|
A:
|
B:
|
h:
|
H:
|
cm:
|
つまり、フィッシャーは、12平均律で可能な24調のうち、以下の５つの調を用いていない。
Cis dur / Des dur
dis moll / es moll
Fis dur / Ges dur
gis moll / as moll
b moll / ais moll
これらは調号のシャープ、フラットが５〜７個の調で、C durから見ると、もっとも共通音が少ない遠隔調となる。なぜ、フィッシャーがこれらの調を用いなかったのか、いくつかの理由が考えられるが、ひとつには、中全音律系では、これらの調の主和音の完全５度にしわよせがきて、ヴォルフと呼ばれる強いうなりを生じることが挙げられる。
バッハがこれらの調も用いているのは、しわよせのヴォルフを生じない音律、すなわち12平均律、あるいは少なくとも「より12平均律に近い音律」を用いていたから、と考えるのが妥当だろう。
ちなみに「アリアドネ」とはギリシャ神話の中で、クレタ島の迷宮に住む怪物ミノタウロスを倒すために迷宮に入っていくテセウスに、帰り道を迷わないように糸玉を渡した女性。フィッシャーは、これまで使われることのなかった調の迷宮の中で演奏者が迷わないように＝困惑しないように、という意味を込めてこのタイトルを付けたのだろう。
補遺１：セント値の求め方
音程は比であるため、その大小の比較が感覚的にむずかしい。このため、対数を用いて音程を記述する方法が考案された。これは１オクターブ（1:2）を1200セントcent、平均律の半音=1:（2の12乗根）、 1:2^(1/12)を100セントとするもの。
ある音程比Ｒのセント値Cは
C=log(R) / log(2)*1200
で求めることができる（logは常用対数）。 たとえば2:3の完全５度は、
log(3/2)/log(2)*1200=701.955
702セントとなる。
補遺２：音律演奏サンプル
楽譜作成ソフト Finale2014にはプレイバック音源としてGarritan ARIA Playerが添付されている。このARIA Playerには、各種音律がプリセットされているので、代表的な音律による演奏サンプルを作成してみた。
(1) 聖マグヌス讃歌
13世紀頃と推定されている《気高くて謙虚で》"Nobilis humilis"。３度の平行進行を行う点に特徴があり、２声部であるところから、「ジメル」（Gymel=双子）と呼ばれる。
このサンプルでは、Garritan ARIA Playerのチェンバロ（Keyboards > Harpsichord）を使用。Finale2014からAIFFファイルをエクスポートし、そのファイルをMP3に変換。
純正律バージョンは純正律ハ長調の設定による（この曲は、厳密にはリディア旋法とみなすことができる）。
この曲では、音律の差はほんのわずかであり、非常に注意深く聴いてみて初めて、うなりの程度や、音高のズレが認識できるレベルであり、一般の音楽愛好家であれば、その違いに気づくことはまずないと思われる。筆者は純正律バージョンと1/4コンマ中全音律バージョンで、第一線のミ（E）がわずかに低いのが気になる。
・ピュタゴラス音律： nobilis_humilis_pyt.mp3
・純正律： nobilis_humilis_just.mp3
・1/4コンマ中全音律： nobilis_humilis_quarter_mt.mp3
